|
|
 |
Условие
Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Противоположные стороны
AB и CD при продолжении пересекаются в точке K, стороны BC и AD – в точке L.
Докажите, что биссектрисы углов BKC и BLA пересекаются на прямой, проходящей через середины AC и BD.
Подсказка
Пусть M и N – середины диагоналей AC и BD. Докажите, что обе биссектрисы делят отрезок MN в одном и том же отношении, равном :AC : DB.
Решение
Пусть M и N – середины AC и BD соответственно. Треугольники AKC и DBK подобны по двум углам, MK и KN – их медианы. Поэтому MK : KN = AC : BD,
∠AKM = ∠DKN. Значит, биссектриса угла AKD является биссектрисой угла MKN. Следовательно, она делит сторону MN треугольника KMN в отношении
MK : KN = AC : BD. То же верно для биссектрисы угла BLA. Следовательно, обе
биссектрисы проходят через одну и ту же точку отрезка MN.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 163 |
