Информация о задаче

Задача 52503

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Михайловский В.

Диагонали выпуклого четырёхугольника взаимно перпендикулярны. Докажите, что четыре проекции точки пересечения диагоналей на стороны четырёхугольника лежат на одной окружности.

Подсказка

Точка пересечения диагоналей, её проекции на соседние стороны и общая точка этих сторон лежат на одной окружности.

Решение

Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD; M, N, P, Q — проекции точки O на AB, BC, CD и AD. Тогда

$\displaystyle \angle$ QMO + $\displaystyle \angle$ QPO = $\displaystyle \angle$ QAO + $\displaystyle \angle$ QDO = 90^o

(т.к. точки M и Q лежат на окружности с диаметром AO, а точки P и Q — на окружности с диаметром OD). Аналогично $\angle$ OMN + $\angle$ OPN = 90^o. Поэтому

$\displaystyle \angle$ QPN + $\displaystyle \angle$ QMN = 180^o.

Следовательно, четырёхугольник MNPQ — вписанный.

Источники и прецеденты использования


журнал
Название	"Квант"
год
Год	1972
выпуск
Номер	9
Задача
Номер	М163


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	166