Версия для печати
Убрать все задачи

---

В клетках прямоугольной таблицы 8×5 расставлены натуральные числа. За один ход разрешается одновременно удвоить все числа одной строки или же вычесть единицу из всех чисел одного столбца. Доказать, что за несколько ходов можно добиться того, чтобы все числа таблицы стали равными нулю.

   Решение

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Диагонали выпуклого четырёхугольника взаимно перпендикулярны. Докажите, что четыре проекции точки пересечения диагоналей на стороны четырёхугольника лежат на одной окружности.

Подсказка

Точка пересечения диагоналей, её проекции на соседние стороны и общая точка этих сторон лежат на одной окружности.

Решение

Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD; M, N, P, Q — проекции точки O на AB, BC, CD и AD. Тогда

(т.к. точки M и Q лежат на окружности с диаметром AO, а точки P и Q — на окружности с диаметром OD). Аналогично OMN + OPN = 90^o. Поэтому

Следовательно, четырёхугольник MNPQ — вписанный.

Источники и прецеденты использования