Информация о задаче

Задача 52508

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если для вписанного четырехугольника ABCD выполнено равенство CD = AD + BC, то биссектрисы его углов A и B пересекаются на стороне CD.

Подсказка

Пусть M и P - точки на основании CD такие, что CP = BC, а AM - биссектриса угла BAD. Тогда точки A, M, P и B лежат на одной окружности.

Решение

Обозначим $\angle$ A = 2 $\alpha$ , $\angle$ B = 2 $\beta$ . Предположим, что $\alpha$ < $\beta$ . Отложим на отрезке CD отрезок CP, равный BC.

Тогда DP = AD, треугольники BCP и APD - равнобедренные,

$\displaystyle \angle$ D = 180^o - 2 $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \angle$ PAD = $\displaystyle \angle$ DPA = $\displaystyle \beta$ ,

$\displaystyle \angle$ C = 180^o - 2 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ CBP = $\displaystyle \angle$ CPB = $\displaystyle \alpha$ .

Пусть AM - биссектриса угла BAD (M на стороне CD). Поскольку $\angle$ MAD = $\alpha$ < $\beta$ = $\angle$ PAD, то точка M лежит между точками P и D,

$\displaystyle \angle$ PMA = 180^o - 2 $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ PBA = 2 $\displaystyle \beta$ - $\displaystyle \alpha$ .

Поэтому $\angle$ PMA + $\angle$ PBA = 180^o. Тогда точки P, M, A, B лежат на одной окружности. Значит, $\angle$ PBM = $\angle$ PAM = $\beta$ - $\alpha$ .

Следовательно,

$\displaystyle \angle$ CBM = $\displaystyle \angle$ CBP + $\displaystyle \angle$ PBM = $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ - $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle \angle$ CBA/2,

т. е. BM - биссектриса угла CBA.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	171