ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52510
Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что в любом треугольнике ABC середина стороны BC лежит на отрезке, соединяющем точку пересечения высот с точкой окружности, описанной около этого треугольника, диаметрально противоположной вершине A, и делит этот отрезок пополам.


Подсказка

Если AA1 — диаметр описанной окружности, а H — точка пересечения высот треугольника ABC, то четырёхугольник HBA1C — параллелограмм.


Решение

Пусть AA1 — диаметр описанной окружности, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Тогда

A1C || BHA1B || CH,

Поэтому четырёхугольник HBA1C — параллелограмм. Следовательно, середина его диагонали BC лежит на диагонали HA1 и делит её пополам.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 173

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .