Задача 52552

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Пусть r — радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c. Докажите, что

r = .

Подсказка

Четырёхугольник, образованный прямыми, содержащими катеты, и радиусами, проведёнными в точки касания с катетами, — квадрат.

Решение

Oбозначим вершины треугольника, противолежащие сторонам a, b и c, через A, B и C соответственно, а точки касания с этими сторонами — соответственно A₁, B₁ и C₁.

Если O — центр данной окружности, то OA₁CB₁ — квадрат. Поэтому

CA₁ = r, BC₁ = BA₁ = a - r, AC₁ = AB₁ = b - r,

c = AB = AC₁ + C₁B = a + b - 2r.

Следовательно,

r = .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	217