Задача 52579

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Через точку касания двух окружностей проведена секущая. Докажите, что радиусы и касательные, проведённые через концы образовавшихся хорд, параллельны.

Подсказка

Докажите равенство углов, образованных соответствующими радиусами с секущей. Не забудьте рассмотреть оба возможных случая: внешнего и внутреннего касания окружностей.

Решение

  Рассмотрим случай внешнего касания. Пусть O₁ и O₂ – центры окружностей, M – точка касания, A₁ и A₂ — соответственно точки пересечения окружностей с секущей. Тогда  ∠O₁A₁M = ∠O₁MA₁ = ∠O₂MA₂ = ∠O₂A₂M.  Поскольку накрест лежащие углы равны, то прямые O₁A₁ и O₂A₂ параллельны. Следовательно, параллельны и перпендикулярные им касательные.
  Аналогичное доказательство проходит и для случая внутреннего касания окружностей.

Замечания

Можно также рассмотреть гомотетию, переводящую одну окружность в другую.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	244