Задача 52647

Темы:    [ Вневписанные окружности ] [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Вневписанные окружности ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Стороны треугольника равны 10, 10, 12. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей.

Подсказка

Если a и b — катеты прямоугольного треугольника, а c — гипотенуза, то искомые радиусы равны , , и .

Первый способ.

Пусть окружность с центром O и радиусом r вписана в прямоугольный треугольник ABC, в котором BC = a, AC = b — катеты, а AB = c — гипотенуза. Если окружность касается отрезков BC, AC и AB соответственно в точках K, L и M, то OKCL — квадрат со стороной r, поэтому

BM = BK = BC - CK = a - r, AM = AL = AC - CL = b - r,

а т.к. AM + BM = AB, то a - r + b - r = c. Отсюда находим, что

r = = = 2.

Пусть окружность с центром O_a и радиусом r_a касается катета BC в точке P, а продолжений катета AC и гипотенузы AB в точках Q и T соответственно. Тогда O_aPCQ — квадрат со стороной r_a, поэтому

r_a = OP = CQ = AQ - AC = p - b = - b = = = 3,

где p — полупериметр треугольника.

Аналогично находим радиусы остальных окружностей.

Второй способ.

Пусть a, b и c — стороны произвольного треугольника, S — его площадь, p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности, r_a, r_b и r_c — радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон a, b и c соответственно. Тогда

r = , r_a = .

В нашем случае

r = = = 2, r_a = = = 3,

r_b = = = 10, r_c = = = 15.

Решение

Пусть r — радиус вписанной окружности треугольника ABC ( AC = = BC = 10, AB = 12), r_c, r_b и r_a — радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон AB, AC и BC соответственно, O_c, O_b и O_a — их центры, S — площадь треугольника ABC, p — его полупериметр.

Первый способ.

Поскольку высота CK треугольника ABC равна 8, то S = 48. Следовательно,

r = = = 3.

Если окружность с центром O_C касается продолжения стороны BC в точке M, то из подобия треугольников CMO_C и CKB находим, что

r_c = O_cM = BK ^. = BK ^. =

= BK ^. = 6 ^. = 12.

Пусть окружность с центром O_a касается продолжения стороны AB в точке F, а продолжения стороны AC — в точке E. Поскольку CO_a — биссектриса угла BCE, а CK — биссектриса его смежного угла ACB, то O_aCK = 90^o. Поэтому O_aCKF — прямоугольник. Следовательно,

r_b = r_a = O_AF = CK = 8.

Второй способ.

Пусть a, b и c — стороны произвольного треугольника, S — его площадь, p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности, r_a, r_b и r_c — радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон a, b и c соответственно. Тогда

r = , r_a = .

В нашем случае

r = = = 32, r_c = = = 12,

r_b = r_a = = = 8.

Третий способ.

Оставим обозначения, принятые в предыдущих способах. Поскольку AO — биссектриса треугольника AKC, то

= = = ,

а т.к. OK = r, то

r = OK = CK = ^. 8 = 3.

Поскольку AO_c — биссектриса внешнего угла треугольника AKC, то

= = = ,

а т.к. O_cK = r_c, то

r_c = O_cK = CK = ^. 8 = 12.

Поскольку CO_a — биссектриса угла BCE, а CK — биссектриса его смежного угла ACB, то O_aCK = 90^o. Поэтому O_aCKF — прямоугольник. Следовательно,

r_b = r_a = O_AF = CK = 8.

Пусть r — радиус вписанной окружности треугольника ABC ( AC = = BC = 10, AB = 12), r_c, r_b и r_a — радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон AB, AC и BC соответственно, O_c, O_b и O_a — их центры, S — площадь треугольника ABC, p — его полупериметр.

Первый способ.

Поскольку высота CK треугольника ABC равна 8, то S = 48. Следовательно,

r = = = 3.

Если окружность с центром O_C касается продолжения стороны BC в точке M, то из подобия треугольников CMO_C и CKB находим, что

r_c = O_cM = BK ^. = BK ^. =

= BK ^. = 6 ^. = 12.

Пусть окружность с центром O_a касается продолжения стороны AB в точке F, а продолжения стороны AC — в точке E. Поскольку CO_a — биссектриса угла BCE, а CK — биссектриса его смежного угла ACB, то O_aCK = 90^o. Поэтому O_aCKF — прямоугольник. Следовательно,

r_b = r_a = O_AF = CK = 8.

Второй способ.

Пусть a, b и c — стороны произвольного треугольника, S — его площадь, p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности, r_a, r_b и r_c — радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон a, b и c соответственно. Тогда

r = , r_a = .

В нашем случае

r = = = 32, r_c = = = 12,

r_b = r_a = = = 8.

Третий способ.

Оставим обозначения, принятые в предыдущих способах. Поскольку AO — биссектриса треугольника AKC, то

= = = ,

а т.к. OK = r, то

r = OK = CK = ^. 8 = 3.

Поскольку AO_c — биссектриса внешнего угла треугольника AKC, то

= = = ,

а т.к. O_cK = r_c, то

r_c = O_cK = CK = ^. 8 = 12.

Поскольку CO_a — биссектриса угла BCE, а CK — биссектриса его смежного угла ACB, то O_aCK = 90^o. Поэтому O_aCKF — прямоугольник. Следовательно,

r_b = r_a = O_AF = CK = 8.

Пусть r — радиус вписанной окружности треугольника ABC ( AC = = BC = 10, AB = 12), r_c, r_b и r_a — радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон AB, AC и BC соответственно, O_c, O_b и O_a — их центры, S — площадь треугольника ABC, p — его полупериметр.

Первый способ.

Поскольку высота CK треугольника ABC равна 8, то S = 48. Следовательно,

r = = = 3.

Если окружность с центром O_C касается продолжения стороны BC в точке M, то из подобия треугольников CMO_C и CKB находим, что

r_c = O_cM = BK ^. = BK ^. =

= BK ^. = 6 ^. = 12.

Пусть окружность с центром O_a касается продолжения стороны AB в точке F, а продолжения стороны AC — в точке E. Поскольку CO_a — биссектриса угла BCE, а CK — биссектриса его смежного угла ACB, то O_aCK = 90^o. Поэтому O_aCKF — прямоугольник. Следовательно,

r_b = r_a = O_AF = CK = 8.

Второй способ.

Пусть a, b и c — стороны произвольного треугольника, S — его площадь, p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности, r_a, r_b и r_c — радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон a, b и c соответственно. Тогда

r = , r_a = .

В нашем случае

r = = = 32, r_c = = = 12,

r_b = r_a = = = 8.

Третий способ.

Оставим обозначения, принятые в предыдущих способах. Поскольку AO — биссектриса треугольника AKC, то

= = = ,

а т.к. OK = r, то

r = OK = CK = ^. 8 = 3.

Поскольку AO_c — биссектриса внешнего угла треугольника AKC, то

= = = ,

а т.к. O_cK = r_c, то

r_c = O_cK = CK = ^. 8 = 12.

Поскольку CO_a — биссектриса угла BCE, а CK — биссектриса его смежного угла ACB, то O_aCK = 90^o. Поэтому O_aCKF — прямоугольник. Следовательно,

r_b = r_a = O_AF = CK = 8.

Ответ

2, 15, 3, 10.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	312