Задача 52666

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Около окружности описана трапеция ABCD, боковая сторона AB перпендикулярна основаниям, M – точка пересечения диагоналей трапеции. Площадь треугольника CMD равна S. Найдите радиус окружности.

Подсказка

Как известно, треугольники BAM и DMC равновелики.

Решение

  Пусть O – центр окружности; R – её радиус; P, F и Q – точки касания со сторонами BC, CD и AD соответственно; K – проекция точки M на сторону AB. Тогда
CF = CP = BC – BP = BC – R, DF = DQ = AD – AQ = AD – R.
  Из прямоугольного треугольника COD получаем, что   R² = OF² = CF·DF = (BC – R)(AD – R).  Отсюда    (последнее равенство доказано в решении задачи 115592).
  Поскольку  AB = 2R,  то   S = S_DMC = S_AMB = ½ AB·KM = R².

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	331