Задача 52669

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Около окружности радиуса 1 описана равнобедренная трапеция, площадь которой равна 5.
Найдите площадь четырёхугольника, вершинами которого служат точки касания окружности и трапеции.

Подсказка

См. решение задачи 52655.

Решение

  Пусть a и b – длины оснований AD и CB трапеции ABCD, P, F, Q, T – точки касания окружности со сторонами CD, AD, AB и BC соответственно; O – центр окружности; K – точка пересечения диагоналей четырёхугольника PFQT, M – середина AB. Тогда  OM = ¼ (a + b),  a + b = 5.
  Из подобия треугольников KPO и POM находим, что   KP = ^OP²/_OM = ⁴/_a+b.
  Следовательно, искомая площадь равна  ½ PQ·FT = KP·FT = ⁸/_a+b = ⁸/₅.

Ответ

1,6.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	334