Задача 52672

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В некоторый угол вписана окружность радиуса 5. Хорда, соединяющая точки касания, равна 8. К окружности проведены две касательные, параллельные хорде. Найдите стороны полученной трапеции.

Подсказка

См. решение задачи 52655.

Решение

  Пусть O – центр окружности, P и Q – точки касания окружности с боковыми сторонами CD и AB полученной равнобедренной трапеции ABCD, K – середина PQ, M – середина CD.
  Из подобия треугольников PKO и OPM находим, что   OM = ²⁵/₄.  Поскольку средняя линия равнобедренной описанной трапеции равна ²⁵/₂, то
СD = AB = ²⁵/₂.
  Пусть N – проекция вершины C на большее основание AD. Из подобия треугольников CND и PKO находим, что  ND = ¹⁵/₂,  а так как отрезок AN равен средней линии трапеции, то  AD = AN + ND = 20,  BC = AD – 2ND = 5.

Ответ

5; 20; 12,5; 12,5.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	337