Задача 52675

Темы:    [ Вневписанные окружности ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В прямоугольный треугольник ABC с углом A, равным 30^o, вписана окружность радиуса R. Вторая окружность, лежащая вне треугольника, касается стороны BC и продолжений двух других сторон. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.

Подсказка

Пусть O₁ и O₂ — центры данных окружностей, C — вершина прямого угла треугольника ABC. Тогда треугольник O₁CO₂ — прямоугольный. Найдите его углы.

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры данных окружностей (R — радиус первой), C — вершина прямого угла. Тогда треугольник O₁CO₂ — прямоугольный. Поскольку точки O₁ и O₂ расположены на биссектрисе угла A, то

O₁O₂C = 75^o - 45^o = 30^o.

Следовательно,

O₁O₂ = 2O₁C = 2R.

Пусть O₁ и O₂ — центры данных окружностей (R — радиус первой), C — вершина прямого угла. Тогда треугольник O₁CO₂ — прямоугольный. Поскольку точки O₁ и O₂ расположены на биссектрисе угла A, то

O₁O₂C = 75^o - 45^o = 30^o.

Следовательно,

O₁O₂ = 2O₁C = 2R.

Пусть O₁ и O₂ — центры данных окружностей (R — радиус первой), C — вершина прямого угла. Тогда треугольник O₁CO₂ — прямоугольный. Поскольку точки O₁ и O₂ расположены на биссектрисе угла A, то

O₁O₂C = 75^o - 45^o = 30^o.

Следовательно,

O₁O₂ = 2O₁C = 2R.

Ответ

2R.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	340