Информация о задаче

Задача 52683

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
	[	Формулы для площади треугольника	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC с периметром 2p острый угол BAC равен $\alpha$ . Окружность с центром в точке O касается стороны BC и продолжения сторон AB и AC в точках K и L соответственно. Точка D лежит внутри отрезка AK, AD = a. Найдите площадь треугольника DOK.

Подсказка

Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны между собой.

Решение

Пусть M — точка касания данной окружности со стороной BC. Тогда

KB = BM, LC = CM, 2p = AB + BC + AC = AK + AL,

а т.к. AK = AL, то AK = p. Поэтому

OK = AKtg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = ptg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Следовательно,

S_DOK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ DK^.OK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ p(p - a)tg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Ответ

S_DOK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ DK^.OK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ p(p - a)tg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	348