Информация о задаче

Задача 52684

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC с периметром 2p острый угол BAC равен $\alpha$ . Окружность с центром в точке O касается стороны BC и продолжения сторон AB и AC в точках K и L соответственно. Найдите площадь треугольника AOL.

Подсказка

Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны между собой.

Решение

Пусть M — точка касания данной окружности со стороной BC. Тогда

KB = BM, LC = CM, 2p = AB + BC + AC = AK + AL,

а т.к. AK = AL, то AL = p. Поэтому

OL = ALtg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = ptg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Следовательно,

S_AOL = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AL^.LO = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ p²tg $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Ответ

${\frac{1}{2}}$ p²tg ${\frac{\alpha}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	349