Информация о задаче

Задача 52706

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Окружность, вписанная в угол	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Найдите отношение радиусов двух окружностей, касающихся между собой, если каждая из них касается сторон угла, равного $\alpha$ .

Подсказка

Опустите перпендикуляр из центра меньшей окружности на радиус большей окружности, проведённый в точку касания с одной из сторон угла.

Решение

Пусть r и R — радиусы окружностей (R > r). Проведём радиус большей окружности в точку касания с одной из сторон угла и опустим на него перпендикуляр из центра меньшей окружности. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой R + r, катетом R - r и противоположным этому катету острым углом, равным ${\frac{\alpha}{2}}$ . Значит,

$\displaystyle {\frac{R-r}{R+r}}$ = sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Отсюда находим, что

$\displaystyle {\frac{r}{R}}$ = $\displaystyle {\frac{1 - \sin \frac{\alpha}{2}}{1 + \sin \frac{\alpha}{2}}}$ .

Ответ

${\frac{1 - \sin \frac{\alpha}{2}}{1 + \sin \frac{\alpha}{2}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	371