Задача 52707

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В острый угол, равный 60^o, вписаны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом. Радиус меньшей окружности равен r. Найдите радиус большей окружности.

Подсказка

Опустите перпендикуляр из центра меньшей окружности на радиус большей окружности, проведённый в точку касания с одной из сторон угла.

Решение

Пусть R — радиус большей окружности. Опустим перпендикуляр из центра меньшей окружности на радиус большей окружности, проведённый в точку касания с одной из сторон данного угла. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой R + r, катетом R - r и острым углом, равным 30^o, противолежащим этому катету. Тогда

R + r = 2(R - r).

Отсюда находим, что R = 3r.

Ответ

3r.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	372