Информация о задаче

Задача 52708

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
	[	Окружность, вписанная в угол	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренной трапеции лежат две окружности. Одна из них, радиуса 1, вписана в трапецию, а вторая касается двух сторон трапеции и первой окружности. Расстояние от вершины угла, образованного двумя сторонами трапеции, касающимися второй окружности, до точки касания окружностей вдвое больше диаметра второй окружности. Найдите площадь трапеции.

Подсказка

Найдите значения тригонометрических функций угла между линией центров двух данных окружностей и боковой стороной трапеции.

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры соответственно первой и второй окружности, M₁ и M₂ — их точки касания с боковой стороной AB трапеции ABCD, N — точка касания первой окружности с основанием AD, K — точка касания окружностей, x — радиус второй окружности.

В треугольнике AO₂M₂ катет O₂M₂ = x, гипотенуза AO₂ = 3x,

sin $\displaystyle \angle$ BAO₂ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ , ctg $\displaystyle \angle$ BAO₂ = 2 $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Из прямоугольного треугольника AO₁M₁ находим, что

M₁A = O₁M₁ctg $\displaystyle \angle$ BAO₁ = 2 $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Поскольку O₁M²₁ = BM₁^.M₁A, то

BM₁ = $\displaystyle {\frac{O_{1}M^{2}_{1}}{M_{1}A}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{4}}$ .

Следовательно, основания трапеции равны 4 $\sqrt{2}$ и ${\frac{\sqrt{2}}{2}}$ . Тогда

S_ABCD = $\displaystyle {\frac{4\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ ^.2 = $\displaystyle {\frac{9\sqrt{2}}{2}}$ .

Ответ

${\frac{9\sqrt{2}}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	373