Задача 52709

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В параллелограмме лежат две окружности. Одна из них, радиуса 3, вписана в параллелограмм, а вторая касается двух сторон параллелограмма и первой окружности. Расстояние между точками касания, лежащими на одной стороне параллелограмма, равно 3. Найдите площадь параллелограмма.

Подсказка

Опустите перпендикуляр из центра меньшей окружности на радиус большей окружности, проведенный в точку касания с одной из сторон параллелограмма.

Решение

Поскольку в данный параллелограмм ABCD вписана окружность, то он — ромб.

Пусть O₁ и O₂ — центры данных окружностей, R и r — их радиусы (R = 3), M₁ и M₂ — точки касания окружностей со стороной AB (M₂ между M₁ и A). Поскольку M₁M₂ = 2 = 3, то r = .

Пусть K — основание перпендикуляра, опущенного из O₂ на O₁M₁. Из подобия треугольников AM₂O₂ и O₂KO₁ находим, что AM₂ = 1. Поэтому

AM₁ = AM₂ + M₂M₁ = 1 + 3 = 4.

Поскольку AO₁B = 90^o, то O₁M²₁ = BM₁ ^. AM₁. Отсюда находим, что,

BM₁ = , AB = .

Следовательно, S_ABCD = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	374