Задача 52716

Темы:    [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В равносторонний треугольник со стороной a вписана окружность. К окружности проведена касательная, отрезок которой внутри треугольника равен b.
Найдите площадь треугольника, отсечённого этой касательной.

Подсказка

Впишите окружность в отсечённый треугольник.

Решение

Полупериметр p отсечённого треугольника MNB равен ^a/₂. Надо найти его площадь S.

Первый способ. Впишем в треугольник MNB окружность ω. Расстояние от вершины B угла, противоположного стороне, равной b, до ближайшей точки касания
с ω равно  p – b = ½ (a – 2b).  Если r – радиус этой окружности, а S – искомая площадь, то  r = ,   S = pr = .

Второй способ. Радиус R его вневписанной окружности равен    По формуле из задачи 52727  S = (p – b)R = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	381