Задача 52725

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Подобные фигуры ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На боковых сторонах PQ и ST равнобедренной трапеции PQST выбраны соответственно точки M и N так, что отрезок MN параллелен основаниям трапеции. Известно, что в каждую из трапеций PMNT и MQSN можно вписать окружность. Найдите основания исходной трапеции, если PQ = c, MN = d (c > 2d ).

Подсказка

Трапеции PMNT и MQSN подобны.

Решение

Первый способ.

При гомотетии с центром в точке пересечения прямых PQ и ST, переводящей окружность, вписанную в трапецию PMNT, в окружность, вписанную в трапецию MQSN, первая трапеция переходит во вторую. Значит, трапеции PMNT и MQSN подобны. Обозначим TP = 2x, QS = 2y. Поскольку = , то xy = .

Если K и L — точки касания окружностей со стороной PQ, то

KL = MN = d, PQ = PK + KL + LQ = x + y + d.

Отсюда находим, что x + y = c - d. Следовательно, x и y - корни квадратного уравнения

t² - (c - d )t + = 0.

Второй способ.

Обозначим TP = 2x, QS = 2y. Пусть K и L — точки касания указанных окружностей со стороной PQ (K между M и P), A — точка касания окружностей. Тогда

QL = y, KM = MA = ML = , PK = x.

Если r и R — радиусы окружностей, то

r² = , R² = , d = KL = 2.

Поэтому xy = . Кроме того,

c = QL + KL + KP = y + d + x,

т.е. x + y = c - d. Следовательно, x и y — корни квадратного уравнения

t² + (c - d )t + = 0.

Ответ

c - d±.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	390