Задача 52730

Темы:    [ Подобные фигуры ] [ Описанные четырехугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Трапеция разделена на три трапеции прямыми, параллельными основаниям. Известно, что в каждую из трёх получившихся трапеций можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, вписанной в среднюю трапецию, если радиусы окружностей, вписанных в две оставшиеся, равны R и r.

Подсказка

Отношение соответствующих элементов подобных фигур равно коэффициенту подобия.

Решение

Пусть NM — большее основание нижней трапеции MBCN, A — точка пересечения прямых MB и NC. Обозначим через x искомый радиус. Тогда паре окружностей, расположенных в треугольнике ABC, соответствует пара окружностей, расположенных таким же образом в подобном ему треугольнике AMN. Поэтому = , откуда x² = rR.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	395