Информация о задаче

Задача 52738

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дана окружность радиуса R. Четыре окружности равных радиусов касаются данной внешним образом, и каждая из этих четырёх окружностей касается двух других. Найдите радиусы этих четырёх окружностей.

Подсказка

Четырёхугольник с вершинами в центрах четырёх данных равных окружностей — квадрат.

Решение

Пусть R — радиус данной окружности, x — радиус остальных окружностей. Обозначим их центры соответственно O, O₁, O₂, O₃, O₄.

Четырёхугольник O₁O₂O₃O₄ — ромб со стороной 2x. Поскольку его вершины расположены на одинаковом расстоянии от точки O, то это квадрат. Поэтому 2x = (R + x) $\sqrt{2}$ . Отсюда находим, что

x = $\displaystyle {\frac{R}{\sqrt{2} - 1}}$ .

Ответ

${\frac{R}{\sqrt{2} - 1}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	403