Задача 52749

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC со сторонами  AB = 3,  BC = 4  и  AC = 5  проведена биссектриса BD. В треугольники ABD и BCD вписаны окружности, которые касаются BD в точках M и N соответственно. Найдите MN.

Решение

По свойству биссектрисы треугольника   AD = ³/₇ AC = ¹⁵/₇,  DC = ⁴/₇ AC = ²⁰/₇.  Значит,
MN = |MD – ND| = |½ (BD + AD – AB) – ½ (BD + CD – BC)| = |½ (BD + ¹⁵/₇ – 3) – ½ (BD + ²⁰/₇ – 4)| = ¹/₇.

Ответ

¹/₇.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	414