Задача 52753

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC сторона BC равна a, радиус вписанной окружности равен r.
Найдите радиусы двух равных окружностей, касающихся друг друга, если одна из них касается сторон BC и BA, а другая – BC и CA.

Решение

  Обозначим через x искомый радиус.

  Первый способ. Пусть  ∠B = 2β,  ∠C = 2γ.  Тогда  x ctg β + x ctg γ + 2x = a.  Поскольку  r ctg β + r ctg γ = a,  то  ctg β + ctg γ = ^a/_r,   ^ax/_r + 2x = a.  Следовательно,
x = ^ar/_a+2r.

  Второй способ. Пусть O₁ и O₂ – центры указанных равных окружностей. Тогда лучи BO₁ и CO₂ пересекаются в центре O вписанной окружности треугольника ABC.
  Отношение высот подобных треугольников OO₁O₂ и OBC, проведённых из общей вершины O, равно отношению соответствующих сторон, то есть
^r–x/_r = ^2x/_a.  Следовательно,  x = ^ar/_a+2r.

Ответ

^ar/_a+2r.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	418