Задача 52771

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Выпуклый четырёхугольник ABCD описан вокруг окружности с центром в точке O, при этом  AO = OC = 1,  BO = OD = 2.
Найдите периметр четырёхугольника ABCD.

Подсказка

Данный четырёхугольник – ромб.

Решение

  Пусть M и N – точки касания окружности со сторонами AB и BC соответственно.
  Треугольники AMO и CNO равны по гипотенузе и катету, поэтому  AM = CN,  а так как  BM = BN,  то AB = BC.  Аналогично  BC = CD = AD.  Значит, ABCD – ромб, а O – точка пересечения его диагоналей. Следовательно,  AB² = AO² + BO² = 5.

Ответ

4.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	436