Информация о задаче

Задача 52789

Темы:	[	Круг, сектор, сегмент и проч.	]
Темы:	[	Касающиеся окружности	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В круговой сектор с центральным углом 120^o вписана окружность. Найдите её радиус, если радиус данной окружности равен R.

Подсказка

Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку касания.

Решение

Пусть x — радиус искомой окружности, O₁ — её центр, OA и OB — радиусы данного сектора, M — точка касания окружностей, K — точка касания искомой окружности с радиусом OB. Тогда

OO₁ = R - x, KO₁ = x, $\displaystyle \angle$ KOO₁ = 60^o,

KO₁ = OO₁sin $\displaystyle \angle$ KOO₁, или x = $\displaystyle {\frac{(R - x)\sqrt{3}}{2}}$ .

Отсюда находим, что

x = $\displaystyle {\frac{R\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}}$ = R $\displaystyle \sqrt{3}$ (2 - $\displaystyle \sqrt{3}$ ).

Ответ

R $\sqrt{3}$ (2 - $\sqrt{3}$ ).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	454