Задача 52812

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Окружность радиуса r вписана в угол, равный α. Другая окружность радиуса R касается одной стороны угла в той же точке, что и первая, пересекая вторую сторону угла в точках A и B. Найдите AB.

Решение

Пусть O и O₁ – центры окружностей радиусов r и R, K – точка касания первой окружности и прямой AB, P – общая точка касания, BMP – данный угол, F – середина AB. Тогда  AB² = 4(O₁B² – O₁F²) = 4(R² – (r – (R – r) cos α)²) = 16 cos² ^α/₂ ((R – r)(R sin² ^α/₂ + r cos² ^α/₂).

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	477