Информация о задаче

Задача 52815

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и AA₁; O — центр описанной около треугольника ABC окружности. Докажите, что прямые A₁B₁ и CO перпендикулярны.

Подсказка

Выразите через угол BAC сумму углов OCB и CA₁B₁.

Решение

Первый способ.

Пусть треугольник ABC — остроугольный и $\angle$ CAB = $\alpha$ . Тогда

$\displaystyle \angle$ CA₁B₁ = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ COB = 2 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ OCB = 90^o - $\displaystyle \alpha$ .

Поэтому

$\displaystyle \angle$ OCB + $\displaystyle \angle$ B₁A₁C = $\displaystyle \alpha$ + 90^o - $\displaystyle \alpha$ = 90^o.

Для тупоугольного треугольника доказательство аналогично.

Второй способ.

Треугольник A₁CB₁ подобен треугольнику ACB. Пусть CC₁ — высота треугольника ACB. Поскольку $\angle$ OCB = $\angle$ ACC₁, то высота CP треугольника A₁CB₁ лежит на прямой CO.

Третий способ.

Проведём касательную CK к описанной окружности треугольника ABC (точки K и A лежат по разные стороны от прямой BC). Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что

$\displaystyle \angle$ BCK = $\displaystyle \angle$ BAC = $\displaystyle \angle$ CA₁B₁.

Значит, CK || A₁B₁, а т.к. OC $\perp$ CK, то OC $\perp$ A₁B₁.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	480