Информация о задаче

Задача 52832

Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
Темы:	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В окружность вписан равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC и $\angle$ B = $\beta$ . Средняя линия треугольника продолжена до пересечения с окружностью в точках D и E ( DE || AC). Найдите отношение площадей треугольников ABC и DBE.

Подсказка

Произведения отрезков пересекающихся хорд одной окружности равны между собой.

Решение

Пусть M и N — середины сторон AB и BC, h — высота треугольника ABC, проведённая из вершины B, AC = 2a, DM = NE = x. Тогда

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta DBE}}}$ = $\displaystyle {\frac{4a}{a+2x}}$ = $\displaystyle {\frac{4}{1 + \frac{2x}{a}}}$ ,

DM^.ME = AM^.MB, или x(x + a) = $\displaystyle {\frac{a^{2}}{4\sin ^{2} \frac{\beta}{2}}}$ ,

или

x² + ax - $\displaystyle {\frac{a^{2}}{2 + 2\cos \beta}}$ = 0.

Отсюда находим, что

$\displaystyle {\frac{x}{a}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{\frac{3 - \cos \beta}{1-\cos \beta}} - 1}{2}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta DBE}}}$ = $\displaystyle {\frac{4}{1 + \frac{2x}{a}}}$ = $\displaystyle {\frac{4}{\sqrt{\frac{3 - \cos \beta}{1-\cos \beta}}}}$ = 4 $\displaystyle \sqrt{\frac{1 - \cos \beta}{3 - \cos \beta}}$ .

Ответ

4 $\sqrt{\frac{1 - \cos \beta}{3 - \cos \beta}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	498