Задача 52837

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

На отрезке AC взята точка B, и на отрезках AB, BC и CA построены полуокружности S₁, S₂ и S₃ по одну сторону от AC; D — точка на S₃, проекция которой на AC совпадает с точкой B. Общая касательная к S₁ и S₂ касается этих полуокружностей в точках F и E соответственно. Докажите, что

а) прямая EF параллельна касательной к S₃, проведённой через точку D;

б) BFDE — прямоугольник.

Подсказка

Если O₁, O₂ и O₃ — центры полуокружностей, а K — проекция O₁ на O₂E, то треугольники O₁KO₂ и DBO₃ равны.

Решение

Пусть O₁, O₂ и O₃ — центры полуокружностей соответственно S₁, S₂ и S₃; r и R — радиусы полуокружностей соответственно S₁ и S₂ . Тогда радиус полуокружности S₃ равен r + R.

Пусть K — основание перпендикуляра, опущенного из точки O₁ на O₂E. Тогда

O₂K = r - R, O₁O₂ = r + R.

В треугольнике DBO₃

BO₃ = r + R, O₃D = r + R.

Поскольку треугольники O₁KO₂ и DBO₃ равны, то равны углы EO₂O₁ и DO₃B, откуда следует первое утверждение.

В четырёхугольнике BFDE диагонали равны (т.к. DB = FE = 2) и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, BFDE — прямоугольник.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	503