Информация о задаче

Задача 52857

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B. Секущая, проходящая через точку A, пересекает эти окружности вторично в точках M и N. Касательные к окружностям S₁ и S₂ в точке A пересекаются прямыми BN и BM в точках P и Q соответственно. Докажите, что прямые PQ и MN параллельны.

Подсказка

Докажите, что APBQ — вписанный четырёхугольник.

Решение

Обозначим $\angle$ MNB = $\alpha$ , $\angle$ NMB = $\beta$ . Пусть точка Q принадлежит отрезку MB, а P — отрезку NB. Тогда

$\displaystyle \angle$ QAB = $\displaystyle \angle$ MNB = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ PAB = $\displaystyle \angle$ NMB = $\displaystyle \beta$ .

Поэтому

$\displaystyle \angle$ QAP = $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \angle$ MBN = 180^o - $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \beta$ .

Значит, APBQ — вписанный четырехугольник. Тогда

$\displaystyle \angle$ QPB = $\displaystyle \angle$ QAB = $\displaystyle \alpha$ .

Следовательно, PQ || MN.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	524