Задача 52873

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Признаки подобия ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Две окружности касаются внешним образом. Прямая, проведённая через точку касания, образует в окружностях хорды, одна из которых равна ¹³/₅ другой. Найдите радиусы окружностей, если расстояние между центрами равно 36.

Подсказка

Соедините центры окружностей с соответствующими концами хорд и рассмотрите подобные треугольники.

Решение

  Пусть O₁ и O₂ – центры окружностей, K – точка касания окружностей, AK и KB – хорды,  AK = ⁵/₁₃ BK.
  AO₁K и BO₂K – равнобедренные треугольники с равными углами при основаниях. Поэтому они подобны с коэффициентом подобия  ^AK/_KB = ⁵/₁₃.  Следовательно,  KO₁ = ⁵/₁₈ O₁O₂ = 10,  KO₂ = 36 – 10 = 26.

Ответ

10 и 26.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	540