Задача 52908

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Данной окружности касаются две равных меньших окружностей — одна изнутри, другая извне, причём дуга между точками касания содержит 60^o. Радиусы меньших окружностей равны r, радиус большей окружности равен R. Найдите расстояние между центрами меньших окружностей.

Подсказка

Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку касания.

Решение

Пусть O, O₁ и O₂ — центры данных окружностей. В треугольнике O₁OO₂ известно, что

OO₁ = R - r, OO₂ = R + r, O₁OO₂ = 60^o.

По теореме косинусов

O₁O²₂ = (R + r)² + (R - r)² - 2(R + r)(R - r)cos 60^o =

= R² - 3r².

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	575