Информация о задаче

Задача 52919

Темы:	[	Формула Эйлера	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей треугольника, перпендикулярна одной из его биссектрис. Известно, что отношение расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей к радиусу описанной окружности равно h. Найдите углы треугольника.

Подсказка

Если R и r — радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника, то расстояние между центрами этих окружностей равно $\sqrt{R^{2}- 2rR}$ . (Формула Эйлера.)

Решение

Пусть O и Q — центры описанной и вписанной окружностей треугольника ABC, R и r — их радиусы; AQ перпендикулярно OQ.

По формуле Эйлера находим, что OQ = $\sqrt{R^{2}- 2rR}$ . Тогда по условию задачи hR = $\sqrt{R^{2}- 2rR}$ , откуда ${\frac{r}{R}}$ = ${\frac{1 - h^{2}}{2}}$ .

Из прямоугольного треугольника AOQ находим, что

AQ = $\displaystyle \sqrt{AO^{2}- OQ^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{R^{2}- (R^{2}- 2rR)}$ = $\displaystyle \sqrt{2rR}$ .

Если P — точка касания вписанной окружности со стороной AB, то из прямоугольного треугольника APQ следует, что

sin $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ A = $\displaystyle {\frac{PQ}{AQ}}$ = $\displaystyle {\frac{r}{\sqrt{2rR}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{1 - h^{2}}}{2}}$ .

Поэтому

$\displaystyle \angle$ A = 2 arcsin $\displaystyle {\frac{\sqrt{1 - h^{2}}}{2}}$ .

Пусть продолжение отрезка OQ за точку Q пересекает описанную окружность в точке E, а продолжение отрезка AQ за точку Q — в точке M. Поскольку OE перпендикулярно AM, то точка E -- середина дуги AM. Поэтому

$\displaystyle \angle$ AOE = $\displaystyle \angle$ QOA = arccos $\displaystyle {\frac{OQ}{AO}}$ = arccos h = $\displaystyle {\frac{\cup AM}{2}}$ =

= $\displaystyle {\frac{\cup AB + \cup BM}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{2\angle C + 2\angle BAM}{2}}$ = $\displaystyle \angle$ C + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ A.

Следовательно,

$\displaystyle \angle$ C = arccos h - arcsin $\displaystyle {\frac{\sqrt{1 - h^{2}}}{2}}$ .

Ответ

2 arcsin ${\frac{\sqrt{1 - h^{2}}}{2}}$ ; arccos h - arcsin ${\frac{\sqrt{1 - h^{2}}}{2}}$ ; $\pi$ - arccos h - arcsin ${\frac{\sqrt{1 - h^{2}}}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	586