Информация о задаче

Задача 52945

Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
Темы:	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На высоте CD, опущенной из вершины C прямоугольного треугольника ABC на гипотенузу AB, как на диаметре построена окружность, которая пересекает катет AC в точке E, а катет BC в точке F. Найдите площадь четырёхугольника CFDE, если катет AC равен b, а катет BC равен a.

Подсказка

Для нахождения сторон прямоугольника CFDE воспользуйтесь теоремой о высоте прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла.

Решение

Поскольку 2S_ABC = AB^.CD = AC^.BC, то

CD = BC^. $\displaystyle {\frac{AC}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}}$ .

Поскольку DF — высота прямоугольного треугольника CDB, проведённая из вершины прямого угла, то

CF = $\displaystyle {\frac{CD^{2}}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{ab^{2}}{( a^{2}+ b^{2})}}$ .

Аналогично находим, что CE = ${\frac{a^{2}b}{(a^{2}+ b^{2})}}$ .

Поскольку CFDE — прямоугольник, то

S_CFDE = CF^.CE = $\displaystyle {\frac{a^{3}b^{3}}{(a^{2}+ b^{2})^{2}}}$ .

Ответ

${\frac{a^{3}b^{3}}{(a^{2} + b^{2})^{2}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	612