ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52991
Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Теорема косинусов ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC ($ \angle$B — прямой), площадь которого равна 4 + 2$ \sqrt{2}$, вписан в окружность. Точка D лежит на этой окружности, причём хорда BD равна 2. Найдите хорды AD и CD.


Подсказка

С помощью теоремы косинусов составьте уравнение относительно AD.


Решение

Обозначим через a катеты треугольника. Из условия задачи следует, что

$\displaystyle {\frac{a^{2}}{2}}$ = 4 + 2$\displaystyle \sqrt{2}$.

Поэтому a2 = 8 + 4$ \sqrt{2}$.

Пусть точка D принадлежит дуге AB, не содержащей точки C. Поскольку

$\displaystyle \angle$ADB = 180o - $\displaystyle \angle$ACB = 180o - 45o = 135o,

то по теореме косинусов

AB2 = AD2 + BD2 - 2AD . BD cos 135o,

или

8 + 4$\displaystyle \sqrt{2}$ = AD2 + 4 + AD$\displaystyle \sqrt{2}$.

Отсюда находим, что

AD = - $\displaystyle \sqrt{6 + 4\sqrt{2}}$ = - $\displaystyle \sqrt{2}$ + 2 + $\displaystyle \sqrt{2}$ = 2.

Аналогично из треугольника BDC ( $ \angle$BDC = $ \angle$BAC = 45o) находим, что DC = 2($ \sqrt{2}$ + 1).


Ответ

2;2(1 + $ \sqrt{2}$) или 2(1 + $ \sqrt{2}$);2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 658

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .