Задача 52994

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Окружность касается стороны BC треугольника ABC в её середине M, проходит через точку A, а отрезки AB и AC пересекает в точках D и E соответственно. Найдите угол A, если известно, что  BC = 12,  AD = 3,5  и  EC = .

Подсказка

Примените теорему о касательной и секущей.

Решение

  По теореме о касательной и секущей  BM² = AB·BD,  CM² = AC·CE,  или  36 = AB(AB – ⁷/₂),  36 = ,  откуда  AB = 8,  AC = 4.
  Поскольку  AB² + AC² = 64 + 80 = 144 = BC²,  то треугольник ABC – прямоугольный.

Ответ

90°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	661