Задача 52995

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Площадь трапеции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Окружность проходит через вершины A и B прямоугольника ABCD и касается стороны CD в её середине. Через вершину D проведена прямая, которая касается той же окружности в точке E, а затем пересекает продолжение стороны AB в точке K.
Найдите площадь трапеции BCDK, если  AB = 10  и  KE : KA = 3 : 2.

Подсказка

Примените теорему о касательной и секущей.

Решение

  Пусть M – середина CD. Тогда  DE = DM = 5.  Пусть  AK = 2x,  тогда  KE = 3x.  По теореме о касательной и секущей  KE² = BK·AK,  или  9x² = (10 + 2x)·2x,  откуда  x = 4.  Поэтому  AK = 8,  BK = 18,  KE = 12,  KD = KE + ED = 12 + 5 = 17.
  По теореме Пифагора  AD² = KD² – AK² = 17² – 8² = 15².
  Следовательно,  S_BCDK = ½ (18 + 10)·15 = 210.

Ответ

210.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	662