|
|
 |
Условие
В прямоугольном секторе AOB из точки B как из центра проведена дуга OC (C – точка пересечения этой дуги с дугой AB) радиуса BO. Окружность ω касается дуги AB, дуги OC и прямой OA, а окружность ω' касается дуги OC, прямой OA и окружности ω. Найдите отношение радиуса окружности ω к радиусу окружности ω'.
Решение
Можно считать, что радиус ω равен 1. Пусть R – радиус сектора, O1 – центр ω, D – проекция O1 на OB. Тогда O1B² – BD² = O1D² = O1O² – OD², то есть
(R + 1)² – (R – 1)² = (R – 1)² – 1², откуда R = 6, а O1D² = 24.
Рассмотрим случай, когда ω' находится между ω и точкой O. Пусть O' – центр ω', r – её радиус, E – проекция O' на OB, F, G – проекции O' и O1 на OA. Тогда
FG² = (1 + r)² – (1 – r)² = 4r, O'B² – BE² = O'E², то есть Отсюда
Второй случай расположения окружности ω' рассматривается аналогично.
Ответ
.
Замечания
Во втором случае ω' касается не дуги OC, а её продолжения.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 669 |
