Информация о задаче

Задача 53003

Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
Темы:	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC угол B равен 45^o, угол C равен 30^o. На медианах BM и CN как на диаметрах построены окружности, пересекающиеся в точках P и Q. Хорда PQ пересекает сторону BC в точке D. Найдите отношение отрезков BD и DC.

Подсказка

Примените теорему об отрезках пересекающихся хорд.

Решение

Пусть окружности, построенные как на диаметрах на медианах BM и CN, пересекают сторону BC в точках X и Y соответственно. Тогда X и Y — проекции точек N и M на сторону BC.

Из прямоугольных треугольников BXN и CYM находим, что

YC = MY $\displaystyle \sqrt{3}$ = NX $\displaystyle \sqrt{3}$ .

По теореме о равенстве произведений отрезков пересекающихся хорд

BD^.DY = PD^.DQ = DX^.DC.

Поэтому

(BX + XD)DY = XD(DY - YC), BX^.DY = DX^.CY,

или

BX^.DY = DX^.BX $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Следовательно,

DY = DX $\displaystyle \sqrt{3}$ , $\displaystyle {\frac{BD}{DC}}$ = $\displaystyle {\frac{BX + DX}{DY + CY}}$ = $\displaystyle {\frac{DX+BX}{DX\sqrt{3} + BX\sqrt{3}}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{3}}}$ .

Ответ

${\frac{1}{\sqrt{3}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	671