Информация о задаче

Задача 53010

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Через вершины B и C треугольника ABC проведена окружность, которая пересекает сторону AB в точке K и сторону AC в точке E. Найдите AE, зная, что AK = KB = a, $\angle$ BCK = $\alpha$ , $\angle$ CBE = $\beta$ .

Подсказка

Произведение всей секущей на её внешнюю часть для данной точки и данной окружности постоянно.

Решение

Обозначим через R радиус данной окружности. Поскольку треугольник BCK вписан в окружность, то

R = $\displaystyle {\frac{a}{2\sin \alpha}}$ .

Поскольку треугольник BCE также вписан в эту окружность, то

CE = 2R sin $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{a\sin \beta}{\sin \alpha}}$ .

Поскольку AC^.AE = AB^.AK, то

$\displaystyle \left(\vphantom{AE + \frac{a\sin \beta}{\sin \alpha}}\right.$ AE + $\displaystyle {\frac{a\sin \beta}{\sin \alpha}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{AE + \frac{a\sin \beta}{\sin \alpha}}\right)$ AE = 2a²,

или

AE² + $\displaystyle {\frac{a \sin \beta \cdot AE}{\sin \alpha}}$ - 2a² = 0.

Откуда находим, что

AE = $\displaystyle {\frac{a}{2\sin \alpha}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\sqrt{\sin^{2} \beta +8\sin ^{2}\alpha} - \sin \beta }\right.$ $\displaystyle \sqrt{\sin^{2} \beta +8\sin ^{2}\alpha}$ - sin $\displaystyle \beta$ $\displaystyle \left.\vphantom{\sqrt{\sin^{2} \beta +8\sin ^{2}\alpha} - \sin \beta }\right)$

Ответ

${\frac{a}{2\sin \alpha}}$ $\left(\vphantom{\sqrt{\sin^{2} \beta +8\sin ^{2}\alpha} - \sin \beta }\right.$ $\sqrt{\sin^{2} \beta +8\sin ^{2}\alpha}$ - sin $\beta$ $\left.\vphantom{\sqrt{\sin^{2} \beta +8\sin ^{2}\alpha} - \sin \beta }\right)$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	678