Задача 53024

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Проекции оснований, сторон или вершин трапеции ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В окружность с центром O вписана трапеция ABCD  (BC || AD).  В этой же окружности проведены диаметр CE и хорда BE, пересекающая AD в точке F. Точка H – основание перпендикуляра, опущенного из точки F на CE, S – середина отрезка EO, M – середина BD. Известно, что радиус окружности равен R, а  CH = ^9R/₈.  Найдите SM.

Решение

  Поскольку CE – диаметр, то  BE ⊥ AD.  Через точку M проведём прямую, параллельную BE, а через точку S – прямую, параллельную AD. Пусть P – середина AD, Q – точка пересечения проведённых прямых, N – точка пересечения прямых BE и QS, K – точка пересечения прямых MQ и AD (см. рис.).
  Обозначим  BC = 2a,  AD = 2b,  BE = 2c,  EF = d.  Тогда  R² – b² = OP² = OF² – a²,  OF² – ^R²/₆₄ = FH² = d² – ^49R²/₆₄.  Вычитая, получим  b² + d² = ^7R²/₄ + a².
  Заметим, что  BF·FP = AF·FD,  или  (2c – d)d = (b – a)(b + a) = b² – a²,  2cd = b² + d² – a² = ^7R²/₄,  b² + d² + 2cd = a² + ^7R²/₂.
  Треугольники NES и BEC подобны с коэффициентом ¼, поэтому  SQ = NQ – NS = FK – NS = ^a+b/₂ – ^a/₂ = ^b/₂,
MQ = MK + KQ = ½ BF + FN = ½ (2c – d) + (d – ^c/₂) = ^c+d/₂.
  Следовательно,  SM² = MQ² + SQ² = ¼ (с² + d² + 2cd + b²) = ¼ (с² + a² + ^7R²/₂) = ¼ (R² + ^7R²/₂) = ^9R²/₈.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	693