Задача 53027

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Пересекающиеся окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Две окружности с центрами O₁, O₂ и радиусами 32, пересекаясь, делят отрезок O₁O₂ на три равные части.
Найдите радиус окружности, которая касается изнутри обеих окружностей и касается отрезка O₁O₂.

Решение

  Пусть r – радиус искомой окружности, O – её центр, Q и P – точки касания соответственно с окружностями ω₁ и ω₂, C – точка касания с прямой O₁O₂, A и B – точки пересечения соответственно ω₁ и ω₂ с отрезком O₁O₂. Тогда  O₁A = AB = BO₂ = 16,  O₁C = 24,  OC = r,  O₁O = O₁Q – OQ = 32 – r.
  По теореме Пифагора  O₁O² = O₁C² + OC²,  или  (32 – r)² = 24² + r²,  откуда  r = 7.

Ответ

7.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	696