ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53029
Темы:    [ Касающиеся окружности ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность радиуса 1 + $ \sqrt{2}$ описана около равнобедренного прямоугольного треугольника. Найдите радиус окружности, которая касается катетов этого треугольника и внутренним образом касается окружности, описанной около него.


Подсказка

Пусть M и N — точки касания искомой окружности с катетами AC и BC треугольника ABC, Q — центр этой окружности. Тогда четырёхугольник QMCN — квадрат.


Решение

Пусть r — радиус искомой окружности, Q — её центр, M, N — точки касания с катетами соответственно AC и BC треугольника ABC, O — центр описанной окружности, P — точка касания окружностей. Тогда точки O и Q лежат на диаметре CP, а четырёхугольник QMCN — квадрат со стороной r. Поэтому

CQ = r$\displaystyle \sqrt{2}$CQ + QP = CPr$\displaystyle \sqrt{2}$ + r = 2(1 + $\displaystyle \sqrt{2}$).

Отсюда находим, что

r = $\displaystyle {\frac{2(1 + \sqrt{2})}{\sqrt{2} + 1}}$ = 2.


Ответ

2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 698

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .