Информация о задаче

Задача 53032

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD проведена диагональ AC, AD = 7, BC = 3, $\angle$ ACD = 60^o. Известно, что точки A, B, C, D лежат на одной окружности, и перпендикуляр, проведённый из точки A к стороне CD, делит угол $\angle$ BAD пополам. Найдите диагональ AC.

Подсказка

Найдите синус угла ADC.

Решение

Пусть AM — перпендикуляр, опущенный из точки A на сторону CD. Луч AC проходит между сторонами угла BAM, поэтому

$\displaystyle \angle$ BAM = $\displaystyle \angle$ BAC + $\displaystyle \angle$ CAM.

Пусть R — радиус описанной окружности четырёхугольника ABCD. Тогда

R = $\displaystyle {\frac{AD}{2\sin \angle ACD}}$ = $\displaystyle {\frac{7}{\sqrt{3}}}$ ,

sin $\displaystyle \angle$ BAC = $\displaystyle {\frac{BC}{2R}}$ = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{3}}{14}}$ , $\displaystyle \angle$ CAM = 30^o.

Поэтому

sin $\displaystyle \angle$ MAD = sin( $\displaystyle \angle$ BAC + 30^o) = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{3}}{14}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{13}{14}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{11}{14}}$ ,

sin $\displaystyle \angle$ ADC = cos $\displaystyle \angle$ MAD = $\displaystyle {\frac{5\sqrt{3}}{14}}$ .

Следовательно,

AC = 2R sin $\displaystyle \angle$ ADC = $\displaystyle {\frac{2\cdot 7}{\sqrt{3}}}$ ^. $\displaystyle {\frac{5\sqrt{3}}{14}}$ = 5.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	701