Задача 53038

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC угол C – прямой,  AC : AB = 3 : 5.  Окружность с центром на продолжении катета AC за точку C касается продолжения гипотенузы AB за точку B и пересекает катет BC в точке P, причём  BP : PC = 1 : 4.  Найдите отношение радиуса окружности к катету BC.

Подсказка

Примените теорему о касательной и секущей.

Решение

  Положим  AC = 3x,  AB = 5x.  Тогда  BC = 4x,  BP = ^4x/₅,  PC = ^16x/₅.
  Пусть Q – вторая точка пересечения прямой BC с указанной окружностью, O – центр этой окружности, M – точка касания с продолжением гипотенузы AB. Тогда  BM² = BP·BQ = ^144x²/₂₅,  AM = 5x + ^12x/₅ = ^37x/₅.
  Из подобия треугольников AOM и ABC следует, что  OM : BC = AM : AC = 37 : 15.

Ответ

37 : 15.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	707