Информация о задаче

Задача 53047

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB и AC угла BAC, равного 120^o, как на диаметрах построены полуокружности. В общую часть образовавшихся полукругов вписана окружность максимального радиуса. Найдите радиус этой окружности, если AB = 4, AC = 2.

Подсказка

Докажите, что диаметр искомой окружности — отрезок, высекаемый на линии центров данными полуокружностями.

Решение

Пусть r = 1 и R = 2 — радиусы данных полуокружностей, P и Q -- их центры, AM — их общая хорда; K — точка пересечения отрезков PQ и AM, N и L — точки пересечения полуокружностей с отрезком PQ. Найдём NL.

По теореме косинусов

PQ² = PA² + QA² - 2PA^.QA cos 120^o = 1 + 4 + 2 = 7, PQ = $\displaystyle \sqrt{7}$ .

Поскольку AK $\perp$ PQ, то

S_APQ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ PQ^.AK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AP^.AQ sin 120^o.

Отсюда находим, что AK = $\sqrt{\frac{3}{7}}$ . Тогда

PK = $\displaystyle \sqrt{AP^{2}-AK^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{1 - \frac{3}{7}}$ = $\displaystyle {\frac{2}{\sqrt{7}}}$ , KN = PN - PK = 1 - $\displaystyle {\frac{2}{\sqrt{7}}}$ .

Аналогично находим, что KL = 2 - ${\frac{5}{\sqrt{7}}}$ . Тогда

LN = KN + KL = 3 - $\displaystyle \sqrt{7}$ .

Докажем теперь, что LN — диаметр искомой окружности. Пусть O -- центр произвольной окружности, вписанной в общую часть данных полукругов, x — её радиус, F и T — точки касания с меньшей и большей полуокружностями. Тогда

PO + OQ $\displaystyle \geqslant$ PQ, или r - x + R - x $\displaystyle \geqslant$ r + R - LN.

Следовательно, 2x $\leqslant$ LN.

Ответ

${\frac{3 - \sqrt{7}}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	716