Задача 53051

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Две окружности радиусов R и r касаются внешним образом в точке A . На окружности радиуса r взята точка B , диаметрально противоположная точке A , и в этой точке построена касательная l . Найдите радиус окружности, касающейся двух данных окружностей и прямой l .

Решение

Если третья окружность касается прямой l в точке B , то её радиус равен r + R .
Пусть теперь третья окружность (с центром Q и радиусом x ) касается прямой l в точке C , отличной от точки B . Если O1 и O2 — центры окружностей радиусов r и R соответственно, то стороны треугольника O1O2Q равны:

O1O2 = r + R, O1Q = r + x, O2Q = R + x.
По формуле Герона
S_{Δ O}1O2Q = .
Если QM — высота этого треугольника, то
QM = BC = 2, S_{Δ O}1O2Q=(r+R)· 2.
Решив уравнение
= (r + R),
получим, что x = .


Если третья окружность касается прямой l в точке B , то её радиус равен r+R .
Пусть теперь третья окружность с центром Q и радиусом x касается прямой l в точке C , отличной от точки B . Если O1 и O2 — центры окружностей радиусов r и R соответственно, а M — проекция точки Q на прямую O1O2 , то
O1Q = r+x, O2Q = R+x,O2M=|R+2r-x|, O1M=x-r.
По теореме Пифагора O2Q2-O2M2=O1Q-O1M2 , или
(R+x)2-(R+2r-x)2=(r+x)2-(x-r)2.
Из этого уравнения находим, что x = .

Ответ

или r+R .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	720