Информация о задаче

Задача 53052

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике PQR угол QRP равен 60^o. Найдите расстояние между точками касания со стороной QR окружности радиуса 2, вписанной в треугольник, и окружности радиуса 3, касающейся продолжений сторон PQ и PR.

Подсказка

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов 2 и 3 соответственно, M и N — их точки касания со стороной RQ. Тогда

RM = O₁M ctg $\displaystyle \angle$ MRO₁ = 2 ctg 30^o = 2 $\displaystyle \sqrt{3}$ ,

RN = O₂N ctg $\displaystyle \angle$ NRO₂ = 3 ctg 60^o = $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Поэтому

MN = RM - RN = 2 $\displaystyle \sqrt{3}$ - $\displaystyle \sqrt{3}$ = $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Ответ

$\sqrt{3}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	721