Задача 53060

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E.
Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если  AD = 4,  BC = 3.

Подсказка

Примените теорему о касательной и секущей.

Решение

  Пусть T – точка пересечения прямых AB и CD, P – проекция точки E на прямую CD, Q – проекция точки C на прямую AD.
  Тогда  QD = AD – AQ = AD – BC = 1.
  Из подобия прямоугольных треугольников TBC и TAD находим, что  TC = 3CD.  Поэтому  TE² = TD·TC = 12CD².
  Из подобия прямоугольных треугольников TPE и CQD получаем  

Ответ

2.

Замечания

Заметим, что есть две окружности, удовлетворяющие условию задачи, но указанное решение годится для обоих случаев и приводит к одному результату.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	729